Содержание

Введение                                            3

1. «Первоначало» и нуль                                4

2. «Беспредельное» и «бесконечное» в философии Анаксимандра    6

3. Понятие бесконечности Зенона Элейского                    17


Заключение                                        22

Список литературы                                    23

Введение

Нуль (от лат. nullus — никакой), число 0, от прибавления (или вычитания) которого к любому числу последнее не меняется: (а+0) = (-0+ а) = а; произведение любого числа на нуль дает нуль:  а * 0 = 0 * а = 0. Деление на нуль невозможно. В современной математике понятие нуля (нулевого элемента) рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр., алгебраических полях).
Бесконечное – это философская категория, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Бесконечное характеризует материю в целом, бесконечное многообразие ее свойств, связей, форм бытия и тенденций развития. Конечное характеризует любые конкретные явления и объекты, которые существуют в определенных пространственных и временных границах. Конечное нередко рассматривается как форма проявления бесконечного, последнее, в свою очередь, складывается из бесчисленного множества конечных объектов и явлений.
    Цель настоящей работы: рассмотреть теорию бесконечности и бесконечного числа, а также ноля в философском понимании.
    Задачи: изложить в работе рассуждения разных философских школ о понятии бесконечности и нуля.


1. «Первоначало» и нуль

«Первоначало» — очень типичное и в то же время необычное для древней мысли понятие. Это своего рода понятие-кентавр. С одной стороны, первоначало греки ищут и находят в чем-то достаточно определенном, более или менее конкретном. И это определенное на первых порах слито с какой-либо природной стихией. Аристотель, излагая «мнения философов» о Фалесе, пи¬шет: «Фалес Милетский утверждал, что начало сущих [вещей] — вода... Все из воды, говорит он, и в воду все разлагается. Заклю¬чает он [об этом], во-первых, из того, что начало (архе) всех жи¬вотных— сперма, а она влажная; так и все [вещи], вероятно, бе¬рут [свое] начало из влаги. Во-вторых, из того, что все растения влагой питаются и [от влаги] плодоносят, а лишенные [ее] засыха¬ют. В-третьих, из того, что и сам огонь Солнца и звезд питается водными испарениями, равно как и сам космос. По этой же при¬чине и Гомер высказывает о воде такое суждение: «Океан, который всем прародитель» [2; c.69]. Суть рассуждения Фалеса в том, что вода толкуется как первооснова и перво¬начало.
Рассмотрение первоначала как материальной, природной сти¬хии— естественный ход человеческой мысли на той стадии, когда она начинает воспарять в высоты абстракции, но по-настоящему абстрактной еще не является. Вот почему в истории философии по поводу «воды» Фалеса велись и ведутся споры. Одни говорят: избрание воды в качестве первоначала навеяно самыми кон¬кретными и реальными наблюдениями. Таково, например, суж¬дение Симшшкия: «Они полагали (речь идет о Фалесе и его по-следователях.— Н. М.), что начало—вода, причем на это их на¬вело чувственное восприятие» . Другие (например, Ге¬гель) утверждают: «вода», как ее понимает Фалес, имеет кос¬венное отношение ко всему конкретному. Само слово «вода» употребляется иносказательно. Но все-таки остается вопрос, по¬чему Фалес избирает именно воду? На него пытались дать ответ многие историки философии, начиная с глубокой древности.
Итак, исходный шаг в обосновании идеи первоначала — си¬стема довольно простых аргументов, апеллирующих к здравому смыслу. Но в рассуждениях о воде как первоначале пролагался путь не только для здравого смысла, для обыденного рассужде¬ния. Парадоксально, что здравый смысл — возможно, незамет¬но для него самого — философы увлекали на непривычный путь. Прежде всего, ясное и довольно очевидное — мысль о роли воды в жизни человека и в природе — надо было представить в виде аргументации, даже системы аргументов и доказательств. Но в таком случае все эти аргументы представали перед судом разу¬ма, способного диалогически представить иные доводы. И древ¬ние греки, вообще склонные ко всяким рассуждениям и спорам, и в этом случае обязательно должны были искать и найти воз¬ражения против фалесовского хода мысли и доказательства. Ска¬жем, такие: и природа в целом, и человек живут, так сказать, не водой единой. Почему же именно воде,   а   не  воздуху   или какой-то другой стихии должно быть отдано предпочтение? Так обозначается историческое поле размышлений вокруг идеи первоначала. Сперва воду, как первоначало, сменит другая стихия природы; затем философы придут к выводу, что нужно объеди¬нить в понятие первоначала несколько  (пять или шесть)  эле¬ментов или стихий.


2. «Беспредельное» и «бесконечное» в философии Анаксимандра

Согласно порядку, принятому в истории философской мысли, об Анаксимандре говорят вслед за Фалесом и уж потом повествуют об Анаксимене. Но если иметь в виду логику идей, то скорее приходится «расположить» Анаксимена на одной «ступеньке» с Фалесом (ибо «воздух» в теоретико-логическом смысле — всего лишь двойник «воды»), тогда как мысль Анаксимандра подни¬мется на ступеньку выше, к более абстрактному облику перво¬начала. Принципом всех принципов, началом всех начал этот Философ объявляет «апейрон», что по-гречески значит «беспредельное».
До рассмотрения этой важнейшей и очень перспективной V идеи греческой философии стоит несколько слов сказать о самом Анаксимандре. С его жизнью, как и с жизнью Фалеса, связыва¬ют по крайней мере одну более или менее точную дату — второй год 58-й Олимпиады, то есть 547—546 год до н. э. Считают (сви¬детельство Диогена Лаэртия), что в то время Анаксимандру было 64 года и что он вскоре скончался [1; c.116]. А выделяют эту дату потому, что, согласно исторической легенде, то был год, когда появилось написанное Анаксимандром философское про¬заическое сочинение. Как именно излагал свои идеи Фалес, не¬известно. Трудно сказать, записывал ли он вообще свои мысли, выражал ли он их языком поэтическим или прозаическим. Анак¬симандру же как раз приписывают эту честь и отвагу: он, как утверждают некоторые доксографы [ 6; c.117], «пер¬вым из известных нам эллинов осмелился написать и обнародо¬вать речь о природе». Вероятно, то было выдающееся для Древ¬ней Греции интеллектуальное событие. Излагать мысли о при¬роде в письменной, к тому же прозаической, форме было делом необычным.
Как это ни удивительно для современного человека, первые письменные произведения, созданные греками, были поэтически¬ми. И лишь впоследствии, сначала греческие историки, а потом и представители других занятий, начали писать прозаические сочинения. Что касается философии, то и здесь, вероятно, все началось с философских поэм,— они писались и до и после Анаксимандра. Так, от элейца Парменида сохранилась (в фрагмен¬тах) поэма «О природе». Анаксимандр же заложил новую тра¬дицию— философских прозаических сочинений. Но хотя в его сочинении о природе предпочтение впервые было оказано про¬заическому языку, оно, как свидетельствуют древние, было напи¬сано вычурной, высокопарной и торжественной прозой, близкой скорее к эпической поэзии. Это говорит о том, что жанр научно-философского, более или менее строгого, обстоятельного сочи¬нения, рождался в трудных поисках.
Образ философа Анаксимандра, который вырисовывается из исторических свидетельств, в общем и целом укладывается в описанный ранее тип античного мудреца. Ему, как и Фалееу, приписывают целый ряд важных практических достижений. На¬пример, сохранилось свидетельство, согласно которому Анакси¬мандр руководил колониальной экспедицией (апойкией) —высе¬лением граждан из Милета в одну из колоний на Черном море; называлась она Аполлонией [ 3; c.116]. Кстати, выселение в колонию было сугубо практическим, правда в ту эпоху уже привычным, делом; нужно было отобрать людей для выселения, снарядить их всем необходимым и сделать это толково, быстро, оперативно. Вероятно, милетянам Анаксимандр казался человеком, подходящим для такого дела.
Анаксимандру, как и Фалееу, приписывают целый ряд ин¬женерно-практических изобретений. Например, считают, что он построил универсальные солнечные часы, называемые «гномон». По ним греки определяли равноденствие, солнцестояние, време¬на года, время суток.
.......................................
В математике Анаксимандру приписывается создание общего очерка геометрии, то есть подытоживание геометрических зна¬ний древних. Впрочем, содержание геометрических идей Анакси¬мандра осталось неизвестным.
Если последующие века скорее развенчали, чем подтвердили славу Анаксимандра как астронома, то сделанный им шаг на пути преобразования идеи первоначала до наших дней сохранил значение величайшего и перспективного интеллектуального изоб¬ретения. Вот свидетельство Симпликия: «Из полагающих одно движущееся и бесконечное [начало] Анаксимандр, сын Пракси-ада, милетец, преемник и ученик Фалеса, началом и элементом сущих [вещей] полагал бесконечное (апейрон), первым введя это имя начала. Этим [началом] он считает не воду и не какой-ни¬будь другой из так называемых элементов, но некую иную бес¬конечную природу, из которой рождаются небосводы [миры] и находящиеся в них космосы» [4; c.117].
Утверждение о первоначале как качественно неопределенном, видимо, казалось тогда необычным. Не случайно даже довольно поздний доксограф, которого именуют Псевдо-Аристотелем, за¬мечает об Анаксимандре: «Но он ошибается, не говоря, что есть бесконечное: воздух ли оно, или вода, или земля, или какие другие тела» [4; c.119]. Ведь в непосредственном историческом окружении Анаксимандра философы обязательно выбирали ка¬кое-то определенное материальное первоначало: Фалес — воду, Анаксимен — воздух. А между этими двумя философами, прида¬ющими качественно определенный характер первоначалу, вкли¬нивается Анаксимандр, который следует уже иной логике и ут¬верждает, что первоначало бескачественно: им принципиально не может быть ни вода, ни воздух, ни какая-либо другая опре¬деленная стихия. Вот как передает мысль Анаксимандра Ари¬стотель: «Есть ведь некоторые, кто именно этим [параэлементным телом] полагают бесконечное (апейрон), а не воздухом или вбдой, чтобы один из элементов, будучи бесконечным ^неогра¬ниченным], не уничтожил остальные...» [6; c.121].
Потому-то в литературе о древней философии возникли го¬рячие споры: казалось либо делом невероятным, либо следстви¬ем ошибки, что философ, последователь Фалеса и предшествен¬ник Анаксимена, лишал апейрон качественных характеристик. Высказывалось и такое соображение: апейрон — столь отвле¬ченное понятие, что оно вряд ли могло возникнуть так рано. Ско¬рее, оно появилось позднее, а Платон и Аристотель рассуждали о «беспредельном» уже на основании более поздних споров или свидетельств.
В самом деле, очень трудно представить себе, что древний философ, предшественник или современник Анаксимена, мыслью опередил не только его, а в какой-то мере даже Гераклита, у ко¬торого первоначалом тоже становится определенная материаль¬ная стихия — огонь. И все-таки представляется вероятным, что при весьма концентрированных умственных усилиях, направ¬ленных на последовательное продумывание идеи первоначала, можно было прийти к понятию «апейрон», что гениальный ум мог родить такое понятие до того, как последователями Фалеса были «проиграны» в чем-то оригинальные, но по сути своей фалесовские варианты. Есть также некоторые соображения, позволяю¬щие понять, почему Анаксимен делает как бы шаг назад после Анаксимандра, выбирая воздух вместо апейрона. Ибо Фалесова логика еще не пришла к завершению, не изжила себя. А логика, полагаемая понятием «апейрон», была логикой талантливо пред¬восхищенного Анаксимандром будущего философии. Впрочем, будущего уже недалекого.
Но что же такое апейрон, это приписываемое Анаксимандру понятие, введенное им, как считается, в первом прозаическом со¬чинении о природе? Апейрон в понимании Анаксимандра — на¬чало материальное, но вместе с тем неопределенное. Идея эта — результат развертывания внутренней логики мысли о первона¬чале: раз есть различные стихии и раз кто-то последовательно возводит каждую из основных в ранг первоначала, то, с одной стороны, стихии как бы уравниваются, а с другой — одна из них неоправданно предпочитается. Почему, например, берется вода, а не воздух? Так рассуждал — вопреки Фалесу— Анаксимен. Почему воздух, а не огонь? Так — уже вопреки им обоим — ду¬мал Гераклит. Почему огонь, а не земля? И не придать ли роль первоначала не одной какой-то стихии, а всем им вместе? Так потом будет рассуждать Эмпедокл. Но ведь не обязательно по-следовательно проходить через логически возможные стадии. Если сопоставить все варианты (в пользу воды, воздуха, огня), каждый из которых опирается на какие-то достаточно веские аргументы, все же окажется, что ни у одного из них нет абсо¬лютной убедительности перед другим. Не напрашивается ли от¬сюда вывод, что на роль первоначала нельзя выдвигать ни от¬дельную стихию, ни все их вместе? Однако и после поистине героического «прорыва» мысли к апейрону на целые века еще будет сохранять власть над умами древних философов исходная логика, апеллирующая к определенному, качественному, хотя «в-себе» уже абстрактному первоначалу.
Анаксимандр сделал дерзкий шаг к понятию неопределенно-бескачественного материального. По своему содержательному философскому смыслу апейрон как раз и является таковым. Вот почему неопределенность как характеристика первоначала была крупным шагом вперед философской мысли по сравнению с вы¬движением на первый план какого-то одного, определенного ма¬териального начала. Апейрон — еще не понятие материи, но бли¬жайшая перед ним остановка философствования. Поэтому Аристотель, оценивая мыслительные попытки Анаксимандра и Эмпедокла, как бы приближает их к своему времени и говорит: «...они, пожалуй, толковали о материи» [3; c.217].
............................................................... ни конца, прежде всего в пространстве. Апейрон выделяется из всей совокупности понятий по той при¬чине, что как раз означает «беспредельное», «безграничное». Само это слово составляется из двух частей — «пейрон», или предел, «граница», и частички «а», которая означает отрицание (тут — отрицание границы).
Итак, греческое слово «апейрон» образуется так же, как и новое понятие о первоначале: посредством отрицания качест¬венных и всяких иных границ. Вряд ли осознавая истоки и след¬ствия своего выдающегося интеллектуального изобретения, Анаксимандр, по существу, показал: первоначало — не некото¬рая особая материальная реальность, а специфическая мысль о материальном мире; и потому каждая следующая логически не¬обходимая стадия в раздумьях о первоначале образуется фило-софской мыслью из философской же мысли. Исходный шаг — абстрагирование материального как общего, но остаточное при¬вязывание его к определенному, качественному уступает место отрицанию. Слово «апейрон» — было ли оно заимствовано Анак-симандром из бытового словаря древних греков или создано им самим — как нельзя лучше передает генезис философского поня¬тия беспредельного.
В этом понятии как бы заключена попытка ответа еще на один вопрос, который также должен был возникнуть со времени Фалеса. Ведь первоначало должно было объяснить рождение и гибель всего, что есть, было и будет в мире. Значит, должно быть нечто, из чего все возникает и во что все разрешается. Иными словами, первопричина, первооснова и рождения, и ги-бели, и жизни, и смерти, и возникновения, и уничтожения сама должна быть постоянна, неуничтожима, то есть бесконечна во времени. Античная философия четко представляет различие ме¬жду двумя состояниями. Одно отмечено рождением и смертью. То, что есть, когда-то возникло и когда-то погибнет — оно пре¬ходяще. Преходящи каждый человек, каждая вещь. Преходящи состояния, которые мы наблюдаем. Преходящее многообразно. Значит, есть множественное, и оно же — преходящее. Первона¬чалом, по логике этого рассуждения, не может стать то, что само является преходящим — ибо тогда оно не было бы первонача¬лом для другого преходящего.
В отличие от тел, состояний, людей, отдельных миров, перво¬начало не погибает, как погибают те или иные вещи и миры. Так рождается и становится одной из самых важных для философии идея бесконечности, как бы составленная и из идеи беспредель¬ности (отсутствия пространственных границ) и из идеи вечного, непреходящего (отсутствия временных границ). То обстоятель¬ство, что эта идея рождается «в лоне» философской логики ма-териального первоначала, имело для философии серьезные пос¬ледствия; это стало более ясным позже. Но уже и новорожденная философия натолкнулась на одну из существенных трудностей. Что было до богов? Согласно Гесиоду, был первоначальный Хаос. Идея рождения мира «из» материального первоначала и благодаря ему могла без конкуренции сосуществовать с «теого-ническим» строем мысли. Однако сдвиг в мышлении, культуре, который возник благодаря идее первоначала, оказался — по крайней мере в тенденции—довольно опасным для религии. Ведь получалось, что первоначало, которое не возникает, не яв¬ляется преходящим, становится важнее божеств (разумеется, бо¬жеств в греческом изображении). Здесь намечается (но только намечается) конфликт между религией и философией. И если бы логика первоначала была каждым философом доведена до конца, они, возможно, сделались бы атеистами. И довольно часто в наших популярных или даже в специальных работах так и го¬ворится: первые древнегреческие материалисты были атеистами. На деле ситуация сложилась не столь простая.
Правда, путь к нерелигиозной философии был открыт. Своеоб¬разная философская логика материального первоначала могла конкурировать с логикой религии. И порой, опираясь на силу и логику теоретического рассуждения, философы развенчивали суе¬верия, примитивные рассуждения о богах. Наиболее рассуди¬тельные соотечественники, в том числе жрецы, видя, какая опас¬ность для религии заключается во внутренней логике филосо¬фии, ее раздумий о первоначале, иногда обвиняли философов в безбожии. Это понимали не только греки, но и мыслители более поздних эпох. Например, Августин, один, из столпов средневе¬ковой христианской философии, так говорит о понимании Анаксимандром миров: «...миры же те, как он считал, то разлага¬ются, то снова рождаются — каждый сообразно своему жизнен-ному веку...». И тут уже Августин спешит упрекнуть Анаксиманд-ра в том, что он «в этом творении вещей не уделил никакой роли божественному уму» [1; c.123].
В древней философии, в самом деле, порою возникали бого¬борческие тенденции. Но принимать их за атеизм вряд ли верно. Ибо есть и противоположные — скажем, у Аристотеля — свиде¬тельства: раз апейрон не имеет начала, а сам есть начало всего, то такое первоначало «и есть божество, ибо оно «бессмертно и не подвержено гибели», как говорит Анаксимандр и большин¬ство фисиологов» [5; c.120]. И это, по сути дела, не простое сви¬детельство. Здесь Своего рода парадигма, то есть характерный, широко распространенный и логичный для древности образец рассуждения. Он, в чем Аристотель прав, встречается не только у Анаксимандра, но и у других «фисиологов», то есть рассужда¬ющих о фюзисе, природе. В какой-то мере тот же образец мыс¬ли есть у элеата Ксенофана, богоборца Гераклита.
Суть такой парадигмы, подразумеваемой ею логики рассуж¬дения заключается в следующем: боги, как их изображают гре¬ки (как их могут изображать какие-то другие народы),— боги ложные, ибо они просто измышлены людьми. И например, апей-рон с большим правом может быть назван божеством, чем боги мифологии и религии древних греков или других народов. Греки изображают богов рождающимися, возникающими. Апейрон же непреходящ, вечен, значит, поистине имеет право именоваться божественным. Здесь, заметим, пролагается путь для нового типа религиозного сознания. Пройдет несколько веков, и родится христианская религия. Ее образ Бога — иной, чем у греков. Со¬гласно христианству, Бог не рождается из чего-то, а, напротив, сам дает начало миру. Таким образом, к новой религии ведет богоборческая по отношению к сложившимся греческим религи¬озным представлениям, но все-таки не порывающая с самой иде¬ей божества античная философия.
Концепции, приписывающие античной философии прямой и полный атеизм, довольно часто основаны на смешении богобор¬чества и атеизма. Августин справедливо отмечает, что на какой-то стадии размышления о первоначале античные философы не нуждаются в идее божества. Но, ниспровергая богов в каком-то их образе, атеист должен вообще отказаться от идеи всякого бо¬жества (вспомним, частичка «а» означает решительное отрица¬ние). Между тем у многих древнегреческих мыслителей идея божества сохраняется и даже обновляется. Вместе с тем противо¬речие между философским и религиозным способами рассужде¬ния уже складывается. Более того, на это противоречие време¬нами наталкиваются сами древние философы. И все же они еще полагают, что причина —в примитивных представлениях о боже¬стве, которые надлежит заменить более совершенными. Но даже об этом не говорится сколько-нибудь прямо и четко. Ибо в древ¬негреческом мире, в сущности, еще не созрело такое явление, как атеизм, безбожие, хотя уже появились критики греческой ре¬лигии, критики тех конкретных изображений божества, которые тогда существовали. Философы уже включились в такого рода критику. Но изображать их убежденными атеистами — значит совершать серьезную историческую натяжку.


3. Понятие бесконечности Зенона Элейского

.............................................................................Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных  величин, таких, как длины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.  
Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены  лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения  своей науки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание прочный фундамент.
Пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое число у них было дискретным набором единиц;  таким образом, пифагорейская  арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.
Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом -  "количеством”(длина, площадь, объем).  Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел,  величины должны были иметь общую единицу измерения - быть  с о и з м е р и м ы м и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами, интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел.В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно  ; оно не выражается в виде отношений целых чисел и, значит,  вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются  н е с о и з м е р и м ы м и.  Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?
Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин  греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного,противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.
Доводами Зенона были  "апории” (тупики) ; они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят  в тупик.  Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы  подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.
Апория "Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо ,  Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс  построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.
Еще более явным этот момент становится в апории "Дихотомия”:  прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + ..., сумма которого равна  1 , но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Современные представления о  пределе и сходимости  ряда  позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа  , выбранного сколь угодно малым.
Парадокс "Стрела” основан на предположении, что пространство и время  составлены из неделимых элементов, скажем "точек” и "моментов”. В некий  "момент” своего полета стрела находится в некоторой "точке” пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.
Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению  x/ t пройденного расстояния  x к интервалу времени  t , когда величина  t становится очень малой ? Неспособные представить себе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне при помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно : мгновенная скорость есть предел отношения  x/ t при  t, стремящемся к нулю
Таким образом,все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.
Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю,который привел их в своей "Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность  относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Парадокс "Стрела”, который "является следствием предположения, что время составлено из моментов”, становится нелепым, если принять, что время бесконечно делимо.


Заключение

Итак математика хотя и размышляет об общем и всеобщем, явля¬ясь важнейшей лабораторией вычленения абстрактного и работы с абстракциями предельной общности, но она имеет дело со  всеобщностью лишь количественных отношений, с абстракциями лишь количественных характеристик мира. А для того чтобы работать с абстракциями разного типа и с абстрактным, общим и всеобщим, как таковым, предстояло выбраться на предельно высокий уровень абстракции. И философия осуществила свой прыжок в царство абстрактного уже тогда, когда поставила воп¬рос о начале всех начал, о первоначале, и когда стала это пер-воначало вычленять. Однако, поскольку для человеческого мышления как такового — и тесно связанного с предметной деятель¬ностью, и уже работавшего с мыслями людей, со смыслами куль¬туры— возноситься в высоты абстрактности было весьма непри¬вычно, постольку и философия первоначала двигалась к сверх¬абстрактному миру лишь постепенно. На первых порах перво¬начало предстало в некоторой наглядности. Но очень важна была сама новая тенденция. Все последующее развитие антич¬ной философии было спором о первоначале, последовательным развертыванием мышления о всеобщем.


Список литературы

1.    Алексеев В.А. Философия: Учебник. –М., 2000.
2.    Канке В.А. Философия. Исторический и систематический курс: Учебник для вузов. –М., 1997.
3.    Миголатьев А.А. Философия: Учебник для ВУЗов. –М., 2001.
4.    Мотрошилова Н.В. Рождение и развитие философских идей. –М., 1991.
5.    Спиркин А.Г. Философия: Учебник. – М., 2006.
6.    Философия. Основные идеи и принципы: Попул. Очерк. / Под ред. А.И, Ракитова. –М., 1990.